Hypergeometric Distributions

X ~Hyp(N,n,p) 

"This distribution describes the experiment where elements are picked at random without
replacement. More precisely, suppose that we have N elements out of which M has a certain
attribute (and N −M has not). If we pick n elements at random without replacement p(r)
is the probability that exactly r of the selected elements come from the group with the
attribute." (1)

(1)  Hand-book on STATISTICAL DISTRIBUTIONS for Experimentalists, by Christian Walck, Published by: Particle Physics Group Fysikum, University of Stockholm

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

AA

AB

AC

1

Hypergeometric Distribution

2

a

d

x

n

N

NCn

dCx

N-dCn-x

Answer

ROUND (4th)

3

Formula

10

4

8

60

2558620845

210

230300

4

P(X=x) = {(dCx)*([N-d]C[n-x])}/(NCn) =

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.018901979984455

0.0189

5

For x= (0, 1...min(n.d)),

6

Google Sheets Formula =

(=(Y3*Z3)/X3)

(=ROUND(AA,4))

7

8

b

d

y

n

N

NCn

dCx

N-dCn-x

Answer

ROUND (4th)

9

15

3

8

60

2558620845

455

1221759

10

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.217265620299439

0.2173

11

12

13

14

15

16

Google Sheets Function (Basic)

17

[=HYPGEOMDIST(x,n,d,N)]

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.018901979984455

0.0189

18

(=HYPGEOMDIST(U4,V4,T4,W4))

19

Google Sheets Formula =

20

Mean

21

E[X]=μ = n*(d/N)

22

μ =

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

1.33333333333333

23

Google Sheets Formula =

(=V3*(T3/W3))

24

25

Variance

26

Var = σ^(2)=

27

n*(d/N)*(1-(d/N)*((N-n)/(N-1))

28

σ^(2)=

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

1.13747645951036

1.1375

29

Google Sheets Formula =

(=Q3*(O3/R3)*(1-(O3/R3)*((R3-Q3)/(R3-1))))

30

31

32

Standard Deviation

33

St.Dev = √σ

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

1.06652541437622

1.0665

34

Google Sheets Formula =

(=SQRT(V19))

35

36

37

Moment Generating Function

38

A moment generating function does exist for the hypergeometric distribution

39

40

41

42

Third Moment of X about the Mean =

43

E[(X-μ)^(3)]=

44

n*(d/N)*(1-d/N)*(1-(2d/n))*((N-n)/(N-1))*((N-2n)/(N-2))=

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

-1.11435807519969

-1.1144

45

Google Sheets Formula =

(=R3*(P3/S3)*(1-(P3/S3))*(1-(2*P3/R3))*((S3-R3)/(S3-1))*((S3-2*R3)/(S3-2)))

46

47

48

Google Sheets Function (All)

49

HYPGEOMDIST(num_successes, num_draws, successes_in_pop, pop_size)

50

P{X=x} [=HYPGEOMDIST(x,n,d,N)]

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.018901979984455

51

P{X≤x} [=HYPGEOMDIST(x,n,d,N)] Note: no cumulative in this function in Google Sheets.

0.018901979984455

52

P{X<x} [=HYPGEOMDIST(x-1,n,d,N)]

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.099370409061136

53

P{X>x} [=1-HYPGEOMDIST(x,n,d,N)]

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.018901979984455

54

P{X≥x} [=1-HYPGEOMDIST(x-1,n,d,N)]

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.900629590938864

55

56

x<y

57

P{x<X<y} [=HYPGEOMDIST(y-1,n,d,N)] - [=HYPGEOMDIST(x,n,d,N)]

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.31535282047622

58

P{x<X≤y} [=HYPGEOMDIST(y,n,d,N)] - [=HYPGEOMDIST(x,n,d,N)]

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.198363640314984

59

P{x≤X<y} [=HYPGEOMDIST(y-1,n,d,N)] - [=HYPGEOMDIST(x-1,n,d,N)]

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.234884391399539

60

P{x≤X≤y} [=HYPGEOMDIST(y,n,d,N)] - [=HYPGEOMDIST(x-1,n,d,N)]

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0.117895211238303

61

62

63

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